Question

【題目】已知函數 ，g（x）=2ln（x+m）．
（1）當m=0，存在x0∈[ ，e]（e為自然對數的底數），使 ，求實數a的取值范圍；
（2）當a=m=1時，設H（x）=xf（x）+g（x），在H（x）的圖象上是否存在不同的兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＞x2＞﹣1），使得H（x1）﹣H（x2）= ？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：x0f（x0）≥g（x0）可化為 ，

令h（x）=x2﹣2lnx，則

∴當x∈ 時，h'（x）＜0；當x∈（1，e]時，h'（x）＞0；

又∵ ，∴ ，則a≤e2﹣2

（2）解：H（x）=x2+2ln（x+1）﹣1， ；

；

；

故可化為 = ，即 =

又即 = ①，

令 ，①式可化為 ，

令 ， ，∴u（t）在（1，+∞）上遞增

∴u（t）≥u（1）=0；∴u（t）無零點，故A、B兩點不存在

【解析】（1）x0f（x0）≥g（x0）可化為 ， 構造h（x）=x2﹣2lnx，求出其值域即可．（2） ； ；
故可化為 = ，即 =
又即 = ①，
令 ，①式可化為
令 ， ，只需考查u（t）的值域即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．