Question

已知數列{a_n}滿足，an+1=

an( a 2 n +3)

3 a 2 n +1

．
（1）若方程f（x）=x的解稱為函數y=f（x）的不動點，求a_n+1=f（a_n）的不動點的值；
（2）若a₁=2，bn=

an-1

an+1

，求證：數列{lnb_n}是等比數列，并求數列{b_n}的通項．
（3）當任意n∈N^*時，求證：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根據方程不動點的定義，令an=

an( a n 2 +3)

3 a n 2 +1

，解得a_n的值，
（2）把等式an+1=

an( a n 2 +3)

3 a n 2 +1

兩邊同時加1和兩邊同時減1，得到兩式相除得

an+1+1

an+1-1

=(

an+1

an-1

)3，據此可以得數列lnb_n是以-ln3為首項，3為公比的等比數列，于是可以數列{b_n}的通項，
（3）根據bn=(

1

3

)3n-1≤(

1

3

)n，求得數列{(

1

3

)n}前n項和，然后判斷其和與

1

2

的大小．

解答：解：（1）由方程a_n+1=f（a_n）得an=

an( a 2 n +3)

3 a 2 n +1

，
解得a_n=0，或a_n=-1，或a_n=1．
（2）∵an+1+1=

an( a 2 n +3)

3 a 2 n +1

+1=

(an+1)3

3an+1

，an+1-1=

an( a 2 n +3)

3 a 2 n +1

-1=

(an-1)3

3an+1

，
∴兩式相除得

an+1+1

an+1-1

=(

an+1

an-1

)3，
即b_n+1=b_n³．
由a₁=2可以得到b_n＞0，則lnb_n+1=lnb_n³=3lnb_n．
又b1=

1

3

，得lnb₁=-ln3，
∴數列lnb_n是以-ln3為首項，3為公比的等比數列．
∴lnbn=(-ln3)•3n-1=ln(

1

3

)3n-1，bn=(

1

3

)3n-1（n∈N^*）．
（3）任意n∈N^*，3^n-1≥n．∴bn=(

1

3

)3n-1≤(

1

3

)n，
∴b₁+b₂+b₃++b_n＜

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3++(

1

3

)n
=

1 3 •[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

＜

1

2

．

點評：本題主要考查數列求和和求等比數列的通項公式的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握等比數列的性質，還需掌握運用放縮法解答不等式，本題是一道綜合性試題，難度一般．