Question

已知橢圓C：的離心率，一條準線方程為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設G，H為橢圓上的兩個動點，O為坐標原點，且OG⊥OH．
①當直線OG的傾斜角為60°時，求△GOH的面積；
②是否存在以原點O為圓心的定圓，使得該定圓始終與直線GH相切？若存在，請求出該定圓方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出橢圓的標準方程，利用橢圓C的離心率，一條準線方程為，建立方程組，求得幾何量，即可求橢圓C的標準方程；
（2）①確定G，H的坐標，求得OG，OH的長，即可求△GOH的面積；
②假設存在滿足條件的定圓，設圓的半徑為R，則OG•OH=R•GH，因為OG²+OH²=GH²，故，分類討論可得結論．
解答：解：（1）因為橢圓的離心率，一條準線方程為．
所以，，a²=b²+c²，…（2分）
解得，
所以橢圓方程為． …（4分）
（2）①由，解得，…（6分）
由得，…（8分）
所以，所以．…（10分）
②假設存在滿足條件的定圓，設圓的半徑為R，則OG•OH=R•GH
因為OG²+OH²=GH²，故，
當OG與OH的斜率均存在時，不妨設直線OG方程為：y=kx，與橢圓方程聯立，可得，
∴
同理可得
∴，∴R=
當OG與OH的斜率有一個不存在時，可得
故滿足條件的定圓方程為x²+y²=．
點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查標準方程，考查學生分析解決問題的能力，確定橢圓的標準方程是關鍵．