Question

已知A、B、C是橢圓上的三點，其中點A的坐標為，BC過橢圓m的中心，且

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線l（斜率存在時）與橢圓m交于兩點P，Q，

設D為橢圓m與y軸負半軸的交點，且，求實數(shù)t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）t∈（－2，4）

【解析】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是將 轉化為k_DN•k=-1進行求解.

(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì)和向量的數(shù)量積為零得到a,b的值，得到橢圓的方程。

(2)設出直線與橢圓聯(lián)立方程組，然后結合根與系數(shù)的關系，和向量的等式得到參數(shù)的關系式，進而利用判別式得到范圍。

解（1）∵過（0，0）

則

∴∠OCA=90°，  即  又∵

將C點坐標代入得 

解得  c²=8，b²=4

∴橢圓m： 

（2）由條件D（0，－2）  ∵M（0，t）

1°當k=0時，顯然－2<t<2 

2°當k≠0時，設

   消y得

由△>0  可得     ①

設

則    

∴  

由 

∴   ②

∴t>1  將①代入②得   1<t<4

∴t的范圍是（1，4）

綜上t∈（－2，4）