Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，點(n，

Sn

n

)(n∈N*)均在函數y=x+1的圖象上．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

1

anan+1

，T_n是數列{b_n}的前n項和，求使得Tn＜

m

16

對所有n∈N^*都成立的最小正整數m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據點(n，

Sn

n

)(n∈N*)均在函數y=x+1的圖象上，所以把點的坐標代入到函數解析式中，化簡得到S_n的關系式，然后利用a_n=S_n-S_n-1即可求出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）裂項求和，再求使得Tn＜

m

16

對所有n∈N^*都成立的最小正整數m．

解答：解：（Ⅰ）依題意得，

Sn

n

=n+1，
即Sn=n2+n．
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n；
當n=1時，a₁=S₁=2
所以an=2n(n∈N*)
（Ⅱ）由（I）得bn=

1

anan+1

=

1

2n•[2(n+1)]

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
故Tn=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

(n+1)

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)
因此，使得

1

4

(1-

1

n+1

)＜

m

16

(n∈N*)成立的m必須滿足

1

4

≤

m

16

，
即m≥4，
故滿足要求的最小整數m為4．

點評：本題以函數為載體，考查數列的通項，考查恒成立問題，解題的關鍵是運用a_n=S_n-S_n-1，求出等差數列的通項公式，運用裂項法求數列的和．