Question

已知橢圓中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q點，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓的方程.

Answer 1

解析：設直線y=x+1與橢圓mx²+ny²=1(m＞0,n＞0)的交點為P(x₁,y₁)、Q（x₂,y₂），聯立方程組消去y，得(m+n)x²+2nx+(n-1)=0.

∴又OP⊥OQ,∴x₁x₂+y₁y₂=0,即2x₁x₂+(x₁+x₂)+1=0.從而得出

2· +1=0，解得m+n=2.        ①

 

由|PQ|=,得=,

即=，解得mn=.        ②

聯立①②解得故所求橢圓方程為或.