Question

 （本題滿分12）

如圖,在三棱錐S-ABC中，ΔABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=,M,N分別為AB,SB的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求異面直線AC與SB所成角；   （Ⅱ）求二面角 N-CM-B的大小；

（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面CMN的距離。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 _解：

_{（I）取AC 中點(diǎn)D，連結(jié)SD，DB。}

  _{因?yàn)镾A=SC,AB=BC,所以AC⊥SD且AC⊥BD,所以AC⊥平面SDB.}

_{又SB平面SDB,所以AC⊥SB.所以異面直線AC與SB所成角為90。…………4分}

_{（II）因?yàn)锳C⊥平面SDB，AC平面ABC, 所以平面SDC⊥平面ABC.}

_{過N作NE⊥BD于E，則NE⊥平面ABC,}

_{過E作EF⊥CM于F，連結(jié)NF,則NF⊥CM,}

_{所以∠NFE為二面角N-CM-B的平面角。}

_{因?yàn)槠矫鍿AC⊥平面ABC, SD⊥AC,所以SD⊥平面ABC.}

_{又因?yàn)镹E⊥平面ABC，所以NE∥SD。}

_{由于SN=NB,所以NE=SD=,且ED=EB.}

_{在正△ABC中，由平面幾何知識可求得EF=.}

_{在Rt△NEF中，tan∠NFE=}

_{所以二面角N-CM-B的大小是arctan.            ………………………………8分}

_{（III）在Rt△NEF中,NF=,所以,}

_.

_{設(shè)點(diǎn)B到平面CMN的距離為h,}

_{因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2010060311394926566130/SYS201006031141124375470656_DA.files/image011.gif">,NE⊥平面CMB,}

_{所以  則h=}

_{即點(diǎn)B到平面CMN的距離為。             ………………………………12分}