Question

已知正項數列{a_n}中，a₁=2點A_n（

an

，

an_+

1）在雙曲線y²-x²=1上，數列{b_n}中，點（b_n，T_n）在直線y=-

1

2

x+1上，其中T_n是數列的前n項和．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：數列{b_n}是等比數列；
（3）若c_n=a_nb_n，求證：c_n+1＜c_n．

Answer 1

分析：（1）把點A_n代入雙曲線方程可得a_n+1-a_n=1可推斷數列{a_n}是一個以2為首項，公差為1的等差數列，進而求得{a_n}的通項公式．
（2）把點（b_n，T_n）代入直線y=-

1

2

x+1可得T_n=-

1

2

b_n+1，進而可得到T_n-1兩式相減可得b_n=

1

3

b_n-1，進而推斷數列{b_n}是等比數列
（3）根據（1）（2）求得{a_n}的通項公式和數列{b_n}的通項公式，進而可得{c_n}的通項公式，進而可得c_n+1-c_n的表達式，根據表達式小于零，原式得證．

解答：解：（1）由已知點A_n（

an

，

an_+

1）在曲線y²-x²=1上知a_n+1-a_n=1．所以數列{a_n}是一個以2為首項，公差為1的等差數列，所以a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1
（2）證明：因為點（b_n，T_n）在直線y=-

1

2

x+1上，所以T_n=-

1

2

b_n+1①
T_n-1=-

1

2

b_n-1+1②
兩式相減得b_n=-

1

2

b_n+

1

2

b_n-1
∴b_n=

1

3

b_n-1
令b=1得b₁=-

1

2

b₁+1所以b₁=

2

3

．
所以數列{b_n}是以

2

3

為首項，以

1

3

為公比的等比數列，所以b_n=

2

3

（

1

3

）^n-1=

2

3n

（3）證明：c_n=a_n•b_n=（n+1）•

2

3n

，所以
c_n+1-c_n=（n+2）•

2

3n+1

-（n+1）•

2

3n

=

2

3n+1

[（n+2）-3（n+1）]
=

2

3n+1

（n+2-3n-3）
=

2

3n+1

（-2n-1）＜0
故c_n+1＜c_n．

點評：本題主要考查了等比數列與直線、雙曲線方程的綜合運用．是近幾年高考常考的類型．