Question

某公司為幫助尚有26.8萬元無息貸款沒有償還的殘疾人商店，借出20萬元將該商店改建成經營狀況良好的某種消費品專賣店，并約定用該店經營的利潤逐步償還債務（所有債務均不計利息）．已知該種消費品的進價為每件40元；該店每月銷售量q（百件）與銷售價p（元/件）之間的關系用右圖中的一條折線（實線）表示；職工每人每月工資為1200元，該店應交付的其它費用為每月13200元．
（1）若當銷售價p為52元/件時，該店正好收支平衡，求該店的職工人數；
（2）若該店只安排20名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務，此時每件消費品的價格定為多少元？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題目的問題找到關鍵詞--“收支平衡”、“還清所有債務”，不難想到，均與“利潤”相關．從閱讀和以上分析，可以達成我們對題目的整體理解，明確這是一道函數型應用題．為此，首先應該建立利潤與職工人數、月銷售量q、單位商品的銷售價p之間的關系，然后，通過研究解析式，來對問題作出解答．
（2）由于若該店只安排20名職工，利用分段函數表示出月利潤，再分類類討論：當40≤p≤58 時，當58＜p≤81 時，求得 p取多少時，S取最大值．最后設該店最早可在n年后還清債務，依題意列出關于n的不等關系即可解決問題．
解答：解：（Ⅰ）設該店的月利潤為S元，有職工m名．則S=q（p-40）×100-1200m-13200．
又由圖可知：．
所以S=，
由已知，當p=52 時，S=0，即：（-2p+140）（p-40）×100-1200m-13200=0，
解得m=25．即此時該店有25名職工．
（Ⅱ）若該店只安排20名職工，則月利潤
S=，
當40≤p≤58 時，求得 p=55時，S取最大值7800元．
當58＜p≤81 時，求得 p=61時，S取最大值6900元．
綜上，當p=55 時，S有最大值7800元．
設該店最早可在n年后還清債務，依題意，
有12n×7800-268000-200000≥0．
解得n≥5．
所以，該店最早可在5年后還清債務，此時消費品的單價定為55元．
點評：求解數學應用題必須突破三關：（1）閱讀理解關：一般數學應用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關鍵詞、句，理解其意義．（2）建模關：即建立實際問題的數學模型，將其轉化為數學問題．（3）數理關：運用恰當的數學方法去解決已建立的數學模型．