Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+2x在x=-1及x=2處取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）若關于x的方程f（x）+x³-2x²-x+t=0在區間[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數根，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）在x=-1，x=2處取得極值的必要條件是

f′(-1)=0 f′(2)=0

，再分別驗證f^′（x）在x=-1、x=2的附近異號即可．
（2）方程f(x)+x3-2x2-x+t=

2

3

x3-

3

2

x2+x+t=0在區間[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數根?方程

2

3

x3-

3

2

x2+x=-t在區間[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實根，
再令g（x）=

2

3

x3-

3

2

x2+x，x∈[

1

2

，2]，通過對函數g（x）求導，得出其單調區間，并求出在區間[

1

2

，2]上的值域，進而即可得出答案．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx+2，又∵f（x）在x=-1，x=2處取得極值，
∴

f′(-1)=0 f′(2)=0

即

3a-2b+2=0 12a+4b+2=0

⇒

a=- 1 3 b= 1 2

，經驗證a、b的值滿足題意；
（2）方程f(x)+x3-2x2-x+t=

2

3

x3-

3

2

x2+x+t=0在區間[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數根，即方程

2

3

x3-

3

2

x2+x=-t在區間[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實根，
令g（x）=

2

3

x3-

3

2

x2+x，x∈[

1

2

，2]，則g′（x）=2x²-3x+1，
令g′（x）=0解得x=

1

2

或x=1；當x變化時，g′（x），g（x）的變化列表如下：

x	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，2）	2
g′（x）	0	-	0	+
g（x）	5 24	↓	極小值 1 6	↑	4 3

要使g（x）=-t在x∈[

1

2

，2]上有兩個不相等實根，則應滿足

1

6

＜-t≤

5

24

，
即t的取值范圍為[-

5

24

，-

1

6

)．

點評：把問題正確轉化和熟練應用導數得出函數的單調性是解決問題的關鍵．