Question

過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的動點P向圓0：x²+y²=b²引兩條切線PA，PB，設切點分別是A，B，若直線AB與x軸，y軸分別交于M，N兩點，則△MON面積的最小值是

b3

a

．

Answer 1

分析：設點P（x₀，y₀），以|OP|為直徑的圓的方程為x2-x0x+y2-y0y=0，與⊙O的方程x²+y²=b²相減得x0x+y0y=b2，即是過切點A，B的直線方程，進而得到點M，N的坐標，利用兩點間的距離公式可得|MN|，利用點到直線的距離公式可得點O到直線MN的距離d，進而得到三角形OMN的面積，S_△OMN=

1

2

d|MN|=

1

2

b4

|x0y0|

，
利用點P在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，及其基本不等式可得a2b2=b2

x

2 0

+a2

y

2 0

≥2ab

x 2 0 y 2 0

=2ab|x₀y₀|，進而得到△MON面積的最小值．

解答：解：設點P（x₀，y₀），則以|OP|為直徑的圓的方程為x2-x0x+y2-y0y=0，
與⊙O的方程x²+y²=b²相減得x0x+y0y=b2，即是過切點A，B的直線方程，（x₀y₀≠0）．
令x=0，得y=

b2

y0

，∴N(0，

b2

y0

)；令y=0，得x=

b2

x0

，∴M(

b2

x0

，0)．
∴|MN|=

( b2 x0 )2+( b2 y0 )2

=

b2 x 2 0 + y 2 0

|x0y0|

，
點O到直線MN的距離d=

b2

x 2 0 + y 2 0

，
∴S_△OMN=

1

2

d|MN|=

1

2

b4

|x0y0|

，
∵點P在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，
∴a2b2=b2

x

2 0

+a2

y

2 0

≥2ab

x 2 0 y 2 0

=2ab|x₀y₀|，當且僅當|bx₀|=|ay₀|時取等號．
∴2|x₀y₀|≤ab，
∴S_△OMN≥

b4

ab

=

b3

a

．
故△MON面積的最小值是

b3

a

．
故答案為

b3

a

．

點評：本題中考查了直線與圓相切、圓的方程、橢圓的方程與性質、基本不等式的性質、點到直線的距離公式、三角形的面積等基礎知識與基本能力，考查了推理能力和計算能力．