Question

如圖，在正三棱錐A－BCD中，∠BAC＝30°，AB＝a，平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H．

(1)判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由．

(2)設P是棱AD上的點，當AP為何值時，平面PBC⊥平面EFGH，請給出證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵AD∥面EFGH，面ACD∩面EFGH＝HG，AD面ACD 　　∴AD∥HG 　　同理EF∥FG，∴EFGH是平行四邊形 　　∵A－BCD是正三棱錐，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心， 　　∴DO⊥BC，∴AD⊥BC， 　　∴HG⊥EH，四邊形EFGH是矩形 　　(2)作CP⊥AD于P點，連結BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP 　　∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面EFGH．面BCP⊥面EFGH 　　在Rt△APC中，∠CAP＝30°，AC＝a，∴AP＝a