Question

【題目】已知函數

（1）當x＞0時，證明 ；

（2）當x＞-1且x≠0時，不等式 恒成立，求實數k的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題(1)構造函數，利用導數證明即可；（2）變形后構造函數，利用導數研究函數的單調性，如果導函數研究困難，可以再對導函數求導研究.

(1)令 ，則 ，

當x＞0時，有 ，則 在 是增函數,

從而，時，得證。 5分

（2）不等式可化為，

令，則

，

①當x＞0時，有 ，令 ，則

故在上是減函數，即，

因此， 在上是減函數，從而，

所以，當 時，對應x＞0，有；

②當-1＜x＜0時，由，

令 ，則，

故在上是增函數，即，

因此，在上是減函數。

從而，。

所以，當時，對于，有。 12分

綜合①②，當時，在且時，有。 13分