Question

四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，試問四邊形ABCD是什么圖形?

Answer 1

四邊形ABCD是矩形

【錯解分析】四邊形的形狀由邊角關系確定，關鍵是由題設條件演變、推算該四邊形的邊角量，易忽視如下兩點：（1）在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應注意這一隱含條件應用；(2)由已知條件產生數量積的關鍵是構造數量積，因為數量積的定義式中含有邊、角兩種關系。
【正解】四邊形ABCD是矩形，這是因為一方面：
由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），即(ａ＋ｂ)^２＝（с＋ｄ）²
即｜ａ｜^２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜^２＝｜с｜^２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜^２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，
∴｜ａ｜^２＋｜ｂ｜^２＝｜с｜^２＋｜ｄ｜^２①
同理有｜ａ｜^２＋｜ｄ｜^２＝｜с｜^２＋｜ｂ｜^２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜
即四邊形ABCD兩組對邊分別相等
∴四邊形ABCD是平行四邊形
另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с，
代入上式得ｂ·(2ａ)＝０即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC。
綜上所述，四邊形ABCD是矩形。
【點評】向量具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”能融數形于一體，能與中學數學教學內容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應引起足夠的重視。基于這一點解決向量有關問題時要樹立起數形結合，以形助數的解題思路。