Question

已知函數f(x)=

x2+ax+1 x≥1 ax2+x+1 x＜1

，則“-2≤a≤0”是“f（x）在R上單調遞增”的

必要不充分

條件．（填充分不必要、必要不充分或充要）

Answer 1

分析：由于函數f（x）為分段函數，故要使其為單調增函數，需每段上為增函數且x＜1時的最大值小于或等于x≥1時的最小值，因此先求函數為增函數的充要條件，再比較已知集合與充要條件集合的包含關系即可判斷其充要性

解答：解：函數f(x)=

x2+ax+1 x≥1 ax2+x+1 x＜1

為分段函數，
當x≥1時，為二次函數，圖象是開口向上，對稱軸為x=-

a

2

的拋物線，x=1時，y₁=a+2
當x＜1時，為二次函數，圖象是開口向下，對稱軸為x=-

1

2a

的拋物線，x→1時，y₂→a+2
函數f（x）在R上單調遞增的充要條件是

- a 2 ≤1 - 1 2a ≥1 y1-y2≥0

，即

a≥-2 - 1 2 ≤a≤0

，即-

1

2

≤a≤0
∵[-2，0]?[-

1

2

，0]
∴“-2≤a≤0”是“f（x）在R上單調遞增”的 必要不充分條件
故答案為  必要不充分

點評：本題考查了分段函數的單調性的判斷方法，判斷命題充要性的方法，二次函數的圖象和性質