Question

如圖，已知拋物線P：y²=x，直線AB與拋物線P交于A，B兩點，OA⊥OB，，OC與AB交于點M．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）求四邊形AOBC的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（1）設，由，OC與AB交于點M．可知：M是線段AB的中點．利用中點坐標公式可得：，①．②由OA⊥OB，利用數量積得．得到．依題意知y₁y₂≠0，得到y₁y₂=-1．③
把②、③代入①即可得到軌跡方程；
（2）依題意得四邊形AOBC是矩形，可得四邊形AOBC的面積為====．
再利用基本不等式的性質即可得出．
解法二：（1）依題意，知直線OA，OB的斜率存在，設直線OA的斜率為k，由于OA⊥OB，則直線OB的斜率為．故直線OA的方程為y=kx，直線OB的方程為．把直線方程與拋物線方程聯立即可得出點A，B的坐標，再利用，即可得到線段AB的中點M的坐標即可得出軌跡方程．
（2）依題意得四邊形AOBC是矩形，可得四邊形AOBC的面積為==，利用基本不等式即可得出．
解答：解法一：
（1）解：設，
∵，OC與AB交于點M．
∴M是線段AB的中點．
∴，①．②
∵OA⊥OB，∴．
∴．
依題意知y₁y₂≠0，
∴y₁y₂=-1．③
把②、③代入①得：，即．
∴點M的軌跡方程為．
（2）解：依題意得四邊形AOBC是矩形，
∴四邊形AOBC的面積為====．
∵，當且僅當|y₁|=|y₂|時，等號成立，
∴．
∴四邊形AOBC的面積的最小值為2．
解法二：
（1）解：依題意，知直線OA，OB的斜率存在，設直線OA的斜率為k，
由于OA⊥OB，則直線OB的斜率為．
故直線OA的方程為y=kx，直線OB的方程為．
由消去y，得k²x²-x=0．
解得x=0或．
∴點A的坐標為．
同理得點B的坐標為（k²，-k）．
∵，
∴M是線段AB的中點．
設點M的坐標為（x，y），則，消去k，得．
∴點M的軌跡方程為．
（2）解：依題意得四邊形AOBC是矩形，
∴四邊形AOBC的面積為===2．
當且僅當，即k²=1時，等號成立．
∴四邊形AOBC的面積的最小值為2．
點評：本小題主要考查拋物線、求曲線的軌跡、均值不等式、向量的中點坐標公式及意義等基礎知識，考查數形結合、函數與方程、化歸與轉化的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力、創新意識．