Question

【題目】設f（x）= （a＞0，b＞0）．
（1）當a=b=1時，證明：f（x）不是奇函數；
（2）設f（x）是奇函數，求a與b的值；
（3）在（2）的條件下，試證明函數f（x）的單調性，并解不等式f（1﹣m）+f（1+m2）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=b=1時，f（x）= = ，∴ ， ，

所以，f（﹣1）≠﹣f（1），∴f（x）不是奇函數

（2）解：若f（x）是奇函數時，f（﹣x）=﹣f（x），即 =﹣ 對定義域內任意實數x成立．

化簡整理得（2a﹣b）22x+（2ab﹣4）2x+（2a﹣b）=0，這是關于x的恒等式，

∴ ，∴ ，或 ．

經檢驗， 符合題意

（3）解： ，

在定義域中任取兩個實數x1、x2，且x1＜x2，則 ，

∵x1＜x2，∴ ，從而f（x1）﹣f（x2）＞0，∴函數f（x）在R上為單調減函數．

∴f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，即 f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2），∴f（1﹣m）＜f（m2﹣1），

∴1﹣m＞m2﹣1，求得﹣2＜m＜1，∴原不等式的解集為（﹣2，1）

【解析】（1）舉反例，根據f（﹣1）≠﹣f（1），可得f（x）不是奇函數．（2）根據f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，求得a與b的值．（3）在定義域中任取兩個實數x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 求得f（x1）＞f（x2），可得函數f（x）在R上為單調減函數．化簡不等式為f（1﹣m）＜f（m2﹣1），
可得 1﹣m＞m2﹣1，由此求得原不等式的解集．
【考點精析】通過靈活運用函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱即可以解答此題．