Question

已知數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1
（1）求證：{a_n}是等差數列；
（2）求{a_n}的前n項和S_n
（3）設bn=

Sn

n

，試求

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bn-1bn

．

Answer 1

分析：（1）利用定義只要證明當n≥2時，a_n-a_n-1為常數即可．
（2）由等差數列的前n項和公式Sn=

n(a1+an)

2

求出即可．
（3）因為b_n=n，所以由

1

i(i+1)

=

1

i

-

1

i+1

裂項求和即可．

解答：解：（1）a₁=2×1-1=1；當n≥2時，a_n-a_n-1=2n-1-[2（n-1）-1]=2為常數，∴數列{a_n}是以a₁=2×1-1=1為首項，2為公差的等差數列．
（2）根據等差數列的前n項和公式得Sn=

n(1+2n-1)

2

=n²．
（3）∵bn=

Sn

n

=

n2

n

=n，∴

1

bibi+1

=

1

i(i+1)

=

1

i

-

1

i+1

，
∴

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bn-1bn

=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=1-

1

n

=

n-1

n

．

點評：本題考查了等差數列的定義、通項公式、前n項和公式及裂項求和，理解和掌握以上公式和方法是解決問題的關鍵．