Question

已知集合M={1，2，3，…，n}（n∈N^*），若集合A={a1，a2，a3，…，am}(m∈N*)，且對(duì)任意的b∈M，存在a_i，a_j∈A（1≤i≤j≤m），使得b=λ₁a_i+λ₂a_j（其中λ₁，λ₂∈{-1，0，1}），則稱集合A為集合M的一個(gè)m元基底．
（Ⅰ）分別判斷下列集合A是否為集合M的一個(gè)二元基底，并說明理由；
①A={1，5}M={1，2，3，4，5}；
②A={2，3}，M={1，2，3，4，5，6}．
（Ⅱ）若集合A是集合M的一個(gè)m元基底，證明：m（m+1）≥n；
（Ⅲ）若集合A為集合M={1，2，3，…，19}的一個(gè)m元基底，求出m的最小可能值，并寫出當(dāng)m取最小值時(shí)M的一個(gè)基底A．

Answer 1

分析：（I）利用二元基底的定義加以驗(yàn)證，可得A={1，5}不是M={1，2，3，4，5}的一個(gè)二元基底，A={2，3}是M={1，2，3，4，5}的一個(gè)二元基底．
（II）設(shè)a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_m，計(jì)算出b=λ₁a_i+λ₂a_j的各種情況下的正整數(shù)個(gè)數(shù)并求出它們的和，結(jié)合題意得m+m+Cm2+Cm2≥n，即m（m+1）≥n．
（III）由（Ⅱ）可知m（m+1）≥19，所以m≥4，并且得到結(jié)論“基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè)”．再討論當(dāng)m=4時(shí)，集合A的所有情況均不可能是M的4元基底，而當(dāng)m=5時(shí)，M的一個(gè)基底A={1，3，5，9，16}，由此可得m的最小可能值為5．

解答：解：（Ⅰ）①A={1，5}不是M={1，2，3，4，5}的一個(gè)二元基底．理由是3≠λ₁×1+λ₂×5；
②A={2，3}是M={1，2，3，4，5}的一個(gè)二元基底．理由是
1=-1×2+1×3，2=1×2+0×3，3=0×2+1×3，4=1×2+1×2，5=1×2+1×3，6=1×3+1×3．           …3分
（Ⅱ）不妨設(shè)a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_m，則
形如1×a_i+0×a_j（1≤i≤j≤m）的正整數(shù)共有m個(gè)；
形如1×a_i+1×a_i（1≤i≤m）的正整數(shù)共有m個(gè)；
形如1×a_i+1×a_j（1≤i≤j≤m）的正整數(shù)至多有Cm2個(gè)；
形如-1×a_i+1×a_j（1≤i≤j≤m）的正整數(shù)至多有Cm2個(gè)．
又集合M={1，2，3，…，n}（n∈N^*），含n個(gè)不同的正整數(shù)，A為集合M的一個(gè)m元基底．
故m+m+Cm2+Cm2≥n，即m（m+1）≥n．…8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知m（m+1）≥19，所以m≥4．
當(dāng)m=4時(shí)，m（m+1）-19=1，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè)．…*
假設(shè)A=a₁，a₂，a₃，，a₄為M={1，2，3，…，19}的一個(gè)4元基底，
不妨設(shè)a₁＜a₂＜a₃＜a₄，則a₄≥10．
當(dāng)a₄=10時(shí)，有a₃=9，這時(shí)a₂=8或7．
如果a₂=8，則由1=10-9，1=9-8，18=9+9，18=10+8，這與結(jié)論*矛盾．
如果a₂=7，則a₁=6或5．易知A={6，7，9，10}和A={5，7，9，10}都不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當(dāng)a₄=11時(shí)，有a₃=8，這時(shí)a₂=7，a₁=6，易知A={6，7，8，11}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當(dāng)a₄=12時(shí)，有a₃=7，這時(shí)a₂=6，a₁=5，易知A={5，6，7，12}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當(dāng)a₄=13時(shí)，有a₃=6，a₂=5，a₁=4，易知A={4，5，6，13}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當(dāng)a₄=14時(shí)，有a₃=5，a₂=4，a₁=3，易知A={3，4，5，14}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當(dāng)a₄=15時(shí)，有a₃=4，a₂=3，a₁=2，易知A={2，3，4，15}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當(dāng)a₄=16時(shí)，有a₃=3，a₂=2，a₁=1，易知A={1，2，3，16}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當(dāng)a₄≥17時(shí)，A均不可能是M的4元基底．
當(dāng)m=5時(shí)，M的一個(gè)基底A={1，3，5，9，16}．
綜上所述，m的最小可能值為5．…14分

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)集合為另一個(gè)集合的m元基底的討論為載體，著重考查了集合元素的討論和方程、不等式的整數(shù)解的討論和兩個(gè)計(jì)數(shù)原理等知識(shí)，屬于難題．