Question

如圖有一張形狀為平行四邊形的紙片．其中AB=2BC=4，點E為AB中點，∠B=120°，現把△AED沿DE折起到△PED位置．
（Ⅰ）當PE⊥EC時，證明：EC⊥面PDE
（Ⅱ）在把△AED沿DE折起的過程中．是否在PC上存在一個定點F，始終有BF∥面PDE？有則給予證明，沒有說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）平行四邊形中，根據題中數據證出△ADE是正三角形，可得DE=2．△CBE中，根據余弦定理算出CE=2，從而△CDE中，利用勾股定理的逆定理證出EC⊥DE．再由PE⊥EC結合線面垂直判定定理，即可證出EC⊥平面PDE；
（2）分別取PC、PD中點F、G，連結BF、FG、CG．利用△PCD的中位線和平行四邊形ABCD的性質，證出BE∥FG且BE=FG，得四邊形BEGF是平行四邊形，所以BF∥EG，根據線面平行判定定理，證出BF∥面PDE．因此，在PC上存在一個定點F，當F為PC的中點時，始終有BF∥面PDE．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC=2，∠A=180°-∠ABC=60°
∵AB=4，E是AB中點，∴AE=AD=2，得△ADE是正三角形，可得DE=2
∵△CBE中，BE=BC=2，∠B=120°，
∴根據余弦定理，得CE==2
因此，△CDE中，DE²+CE²=16=CD²，可得∠DEC=90°，即EC⊥DE
又∵PE⊥EC，PE、DE是平面PDE內的相交直線，∴EC⊥平面PDE；
（2）分別取PC、PD中點F、G，連結BF、FG、CG
∵△PCD中，F、G分別是PC、PD中點
∴FG∥CD且FG=CD，
又∵平行四邊形ABCD中，BE∥CD且BE=CD，
∴BE∥FG且BE=FG，可得四邊形BEGF是平行四邊形
∴BF∥EG
∵BF?平面PDE，EG?平面PDE，∴BF∥面PDE
因此，在PC上存在一個定點F，當F為PC的中點時，始終有BF∥面PDE．
點評：本題將一個平行四邊形進行折疊，探索空間的線面垂直與線面平行的問題．著重考查了直線與平行垂直的判定與性質、線面平行判定定理等知識，屬于中檔題．