Question

15．已知$sin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}\;，\;\;θ∈（{-\frac{π}{2}\;，\;\;0}）$，則sinθcosθ=-$\frac{3}{8}$，cosθ-sinθ=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 推導出sinθ+cosθ=$\frac{1}{2}$，從而（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{1}{4}$，由此能求出sinθcosθ，從而cosθ-sinθ=$\sqrt{（cosθ-sinθ）^{2}}$=$\sqrt{1-2sinθcosθ}$，由此能求出結果．

解答 解：∵$sin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}\;，\;\;θ∈（{-\frac{π}{2}\;，\;\;0}）$，
∴sin$θcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴sinθ+cosθ=$\frac{1}{2}$，
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{1}{4}$，
解得sinθcosθ=-$\frac{3}{8}$，
∴cosθ-sinθ=$\sqrt{（cosθ-sinθ）^{2}}$=$\sqrt{1-2sinθcosθ}$=$\sqrt{1+2×\frac{3}{8}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案為：-$\frac{3}{8}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點評 本題考查三角函數求值，是基礎題，解題時要認真審題，注意同角三角函數關系式的合理運用．