Question

已知E，F分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中點，則截面AEFD₁與底面ABCD所成二面角的正弦值是（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  2

  3

• C、

  5

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

分析：因為D₁D⊥面ABCD，故可由三垂線定理法作出二面角的平面角，再求解．

解答：解：因為D₁D⊥面ABCD，過D做DH⊥AE與H，連接D₁H，則∠D₁HD即為截面AEFD₁與底面ABCD所成二面角的平面角，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，在△D₁HD中，D₁D=1，因為△DAH～△ABE，所以DH=

DA

AE

×AB=

1

1+ 1 4

×1=

2 5

5

所以D₁H=

1+ 4 5

=

3 5

5

，所以sin∠D₁HD=

D1D

D1H

=

1

3 5 5

=

5

3

故選C

點評：本題考查二面角的做法和求解、解三角形知識，考查空間想象能力和運算能力．