Question

（本題滿分14分）設為非負實數，函數．

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）討論函數的零點個數．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 的單調遞增區間是和，單調遞減區間是．

（Ⅱ）當時，函數有一個零點；

當時，函數有兩個零點；

當時，函數有三個零點．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當時，，然后對于分段函數各段的情況分別說明單調性，整體來合并得到結論。

（2）當時，，

故當時，，二次函數對稱軸，那么結合二次函數的 性質可知頂點的函數值為正數，負數，還是零，來確定零點的問題。

解：（Ⅰ）當時，，

① 當時，，∴在上單調遞增；

② 當時，，

∴在上單調遞減，在上單調遞增；

綜上所述，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是．

（Ⅱ）（1）當時，，函數的零點為；   

（2）當時，，

故當時，，二次函數對稱軸，

∴在上單調遞增，又，f(x)與x軸在有唯一交點；

當時，，二次函數對稱軸，

∴在上單調遞減，在上單調遞增；∴，

 當，即時，函數與軸只有唯一交點，即唯一零點，

  當，即時，函數與軸有兩個交點，即兩個零點

 當，即時，f(a)<0，函數與軸有三個交點，即有三個零點

綜上可得，當時，函數有一個零點；

當時，函數有兩個零點；

當時，函數有三個零點．

考點：本題主要考查了函數單調性和函數的零點的運用。

點評：解決該試題的關鍵是對于參數的分類討論是否能夠很好的全面的表示出不同情況下的零點，也是該試題一個難點。