Question

（本題滿分14分）已知是函數的一個極值點.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）若直線與函數的圖象有3個交點，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

 （Ⅱ）的單調增區間是，的單調減區間是

（Ⅲ）。

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。利用導數求解參數的值，以及函數的單調區間，和函數與方程的關系的綜合運用。

（1）由于是函數的一個極值點.，則說明在該點的導數值為零，得到參數a的值。

（2）然后利用第一問的結論，得到導數，結合導數的符號與單調性的關系，求解單調區間。

（3）分離函數的思想，研究兩個圖像的交點個數，即為方程解的問題的運用。

（Ⅰ）因為

        所以

        因此

 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    

    

當時，

當時，

所以的單調增區間是

的單調減區間是

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在內單調增加，在內單調減少，在上單調增加，且當或時，

所以的極大值為，極小值為

因此

   

所以在的三個單調區間直線有的圖象各有一個交點，當且僅當

因此，的取值范圍為。