Question

已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=

2

2

，點F₁，F₂分別為橢圓的左、右焦點，過右焦點F₂且垂直于長軸的弦長為

2

（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的左焦點F₁作直線l，交橢圓于P，Q兩點，若

F2P

•

F2Q

=2，求直線l的傾斜角．

Answer 1

（1）由題意可設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
右焦點F₂（c，0），把x=c代入橢圓方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

．
∴

2b2

a

=

2

．
聯立

2b2 a = 2 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得

a2=2 b=c=1

．
∴橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設直線l與橢圓的交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
①當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為my=x+1．
聯立

my=x+1 x2 2 +y2=1

，得（2+m²）y²-2my-1=0．
∴y1+y2=

2m

2+m2

，y1y2=

-1

2+m2

．
∵2=

F2P

•

F2Q

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（my₁-2，y₁）•（my₂-2，y₂）=（m²+1）y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4，
∴2=

-(m2+1)

2+m2

-

4m2

2+m2

+4，
化為m²=1，解得m=±1，
∴直線l的斜率k=

1

m

=±1．
設直線的傾斜角為α，則tanα=±1．
∴α=

π

4

或

3π

4

．
②當直線l的斜率為0時，P(-

2

，0)，Q(

2

，0)．

F2P

•

F2Q

=(-

2

-1)×(

2

-1)=-1≠2，不符合題意，應舍去．
綜上可知：直線l的傾斜角α為

π

4

或

3π

4

．