Question

函數f（x）=x²+bln（x+1）-2x，b∈R．
（1）當b=1時，求曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；([ln(x+1)]′=

1

x+1

)
（2）當b=

3

2

時，求函數f（x）在（-1，1]上的最大值；（ln2≈0.69）
（3）設g（x）=f（x）+2x，若b≥2，求證：對任意x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁≥x₂，都有g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）．

Answer 1

分析：（1）把b=1代入解析式，使得解析式具體，對于函數求導利用導函數的幾何意義即可求的；
（2）把b=

3

2

代入解析式，由函數求導得導函數，求出函數在定義域上的極值，在與區間端點值進行比較大小，進而求得函數在區間上的最值；
（3）由于g（x）=f（x）+2x，由函數解析式求導得其導函數，利用導函數得到函數在區間上的單調性，進而得到要證明的不等式．

解答：解：（1）當b=1時，f（x）=x²+ln（x+1）-2x定義域為（-1，+∞），
f′(x)=2x+

1

x+1

-2，f^′（0）=-1，又f（0）=0，
故有直線的方程可知：曲線f（x）在點（0，f（0））出的切線方程為：y=-x，
（2）當b=

3

2

時，f(x)=x2+

3

2

ln(x+1)-2x，
求導得：f′(x)=2x+

3

2(x+1)

 -2=

4x2-1

2(x+1)

，
由f^′（x）=0⇒x=±

1

2

，
當x變化時，f^′（x），f（x）的變化情況如下表：

由上表可知：f(x)極大值=f(-

1

2

)=

5

4

-

3

2

ln2，f(1)=

3

2

ln2-1，而f(-

1

2

)-f(1)=

9

4

-3ln2＞2.25-2.1=0.15＞0，
所以f(-

1

2

)＞f(1)，所以函數f（x）在（-1，1]上的最大值為：

5

4

-

3

2

ln2，
（3）證明：∵f（x）=x²+bln（x+1）-2x
∴f′(x)=2x+

b

x+1

-2=2(x+1)+

b

x+1

-4   ≥2

2(x+1)• b x+1

-4=2

2b

-4≥2

2×2

-4=0．
當且僅當2（x+1）=

b

x+1

，即：b=2，且x=0時取等號，
∴b≥2時，函數f（x）在（-1，+∞）內單調遞增，從而對于任意x₁，x₂∈（-1，+∞）且x₁≥x₂，有f（x₁）＞f（x₂），即
g（x₁）-2x₁≥g（x₂）-2x₂∴g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）

點評：此題考查了利用導數求函數在閉區間上的最值，還考查了導數的幾何含義進而求出曲線上任意一點處的切線方程，還考查了利用均值不等式求解函數的最值．