Question

在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n＋1＝a_n(2a_n＋1)，n∈N*．

(I)證明{a_n}是等差數(shù)列，并求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式；

(II)在XOY平面上，設(shè)點(diǎn)列M_n(x_n，y_n)滿足a_n＝nx_n，S_n＝n²y_n，且點(diǎn)列M_n在直線C上，M_n中最高點(diǎn)為M_k，若稱直線C與x軸、直線x＝a、x＝b所圍成的圖形的面積為直線C在區(qū)間[a，b]上的面積，試求直線C在區(qū)間[x₃，x_k]上的面積；

(III)是否存在圓心在直線C上的圓，使得點(diǎn)列M_n中任何一個(gè)點(diǎn)都在該圓內(nèi)部？若存在，求出符合題目條件的半徑最小的圓；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知得① 　　故② 　　②－①得 　　結(jié)合，得 　　是等差數(shù)列……2分 　　又時(shí)，，解得或 　　……3分 　　又，故……4分 　　……5分 　　(II) 　　 　　即得點(diǎn) 　　設(shè)，消去n，得 　　即直線C的方程為……7分 　　又是n的減函數(shù) 　　∴M1為Mn中的最高點(diǎn)，且M1(1，1) 　　又M3的坐標(biāo)為(，) 　　∴C與x軸、直線圍成的圖形為直角梯形 　　從而直線C在[，1]上的面積為……10分 　　(III)由于直線C：上的點(diǎn)列Mn依次為 　　M1(1，1)，M2(，)，M3(，)，……，Mn()，…… 　　而 　　因此，點(diǎn)列Mn沿直線C無限接近于極限點(diǎn)M(，)……12分 　　又 　　M1M的中點(diǎn)為(，) 　　∴滿足條件的圓存在 　　事實(shí)上，圓心為(，)，半徑的圓，就能使得Mn中任何一個(gè)點(diǎn)都在該圓的內(nèi)部，其中半徑最小的圓為……14分