Question

已知函數f（x）=ax³+bx²的圖象在點（-1，2）處的切線斜率為-3，又f（x）在[m，m+1]上單調遞增，則m的取值范圍是（　　）

A．m≤-3

B．m≥0

C．m＜-3或m＞0

D．m≤-3或m≥0

Answer 1

分析：求出f′（x），根據切線與x-3y=0垂直得到切線的斜率為-3，得到f′（-1）=-3，把切點代入f（x）中得到f（-1）=2，兩者聯立求出a和b的值，確定出f（x）的解析式，然后求出f′（x）大于等于0時x的范圍為（-∞，-2]或[0，+∞）即為f（x）的增區間根據f（x）在區間[m，m+1]上單調遞增，得到關于m的不等式，即可求出m的取值范圍．

解答：解：f′（x）=3ax²+2bx，
因為函數過（-1，2），且切線與x-3y=0垂直得到切線的斜率為-3，
得到：

f(-1)=2  f′(-1)=-3

即

-a+b=2 3a-2b=-3

解得：

a=1  b=3

，則f（x）=x³+3x²，
令f′（x）=3x²+6x=3x（x+2）≥0，
解得：x≥0或x≤-2，即x≥0或x≤-2時，f（x）為增函數；
又f（x）在[m，m+1]上單調遞增，
則[m，m+1]?（-∞，-2]或[m，m+1]?[0，+∞），
即m+1≤-2或m≥0，
解得m≤-3或m≥0
故答案為：D

點評：考查學生掌握兩條直線垂直時斜率的關系，會利用導數研究曲線上某點的切線方程，會利用導數研究函數的單調性．本題的突破點是確定函數的解析式．