Question

11．某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析，得到下表數據

x	6	8	10	12
y	2	3	5	6

（1）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）試根據（2）中求出的線性回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力．
（相關公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$x，參考數據$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=158，$\sum_{i=1}^{4}$x${\;}_{i}^{2}$=344）

Answer 1

分析 （1）利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數，即可寫出回歸方程；
（2）由回歸直線方程計算x=9時$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）根據表中數據，得$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（6+8+10+12）=9，$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2+3+5+6）=4，
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{158-4×9×4}{344-4{×9}^{2}}$=0.7，
∴$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$x=4-0.7×9=-2.3
故線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.7x-2.3；
（2）x=9時，$\stackrel{∧}{y}$=0.7×9-2.3=4，
根據線性回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力是4．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法和應用問題，解題的關鍵是利用最小二乘法求回歸方程的系數，是基礎題目．