Question

21.在以O為原點的直角坐標系中，點A（4，－3）為△OAB的直角頂點.已知|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標大于零.

（1）求向量的坐標；

（2）求圓x²－6x+y²+2y=0關于直線OB對稱的圓的方程；

（3）是否存在實數a，使拋物線y=ax²－1上總有關于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由；若存在，求a的取值范圍.

Answer 1

21.解：（1）設 ={u，v}，則由，即，

得，或.

因為=+={u+4，v－3}，

所以v－3>0，得v=8，故={6，8}.

 

（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直線OB方程為：y=x.

由條件可知圓的標準方程為：（x－3）²+（y+1）²=10，

得圓心（3，－1），半徑為.

設圓心（3，－1）關于直線OB的對稱點為（x，y），則

，得，

故所求圓的方程為（x－1）²+（y－3）²=10.

 

（3）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為拋物線上關于直線OB對稱的兩點，則

，得.

 

即x₁、x₂為方程x²+x+=0的兩個相異實根，

 

于是由Δ=－4·>0，得a>.

 

故當a>時，拋物線y=ax²－1上總有關于直線OB對稱的兩點.