Question

某種儀表指示燈,只有“紅燈”“綠燈”,且隨機反復出現,每分鐘變化一次,每次變化只出現“紅燈”“綠燈”之一,其中出現“紅燈”的概率為p,出現“綠燈”的概率為q,若第k次出現“紅燈”,則記a_k=1;出現“綠燈”,則記a_k=-1.令S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1)當p=q=時,記ξ=|S₃|,求ξ的分布列和數學期望;

(2)當p=,q=時,求S₈=2且S_i≥0(i=1,2,3,4)的概率.

Answer 1

解:(1)∵ξ=|S₃|的取值為1,3.又p=q=,

∴P(ξ=1)=()·()²·2=,P(ξ=3)=()³+()³=.

∴ξ的分布列為

ξ	1	3
P

∴Eξ=1×+3×=.

(2)當S₈=2時,即前8分鐘出現“紅燈”5次和“綠燈”3次,由已知S_i≥0(i=1,2,3,4).

若第一、三分鐘出現“紅燈”,則其余六分鐘可出現“紅燈”3次.

若第一、二分鐘出現“紅燈”,第三分鐘出現“綠燈”,則其后五分鐘可出現“紅燈”3次.

故此時的概率為P=(+)·()⁵·()³=.