Question

定義在［－1，1］上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)，時(shí)，有．

（1）試問函數(shù)f(x)的圖象上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，若存在，求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由并加以證明.

（2）若對所有，恒成立，

求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)變量作差變形定號下結(jié)論。

（2）實(shí)數(shù)m的取值范圍是或或．

【解析】

試題分析：解：（1）假設(shè)函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)A，B，則它們的縱坐標(biāo)相同

任取，且， 則

  4分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013062611575220066122/SYS201306261159330443124808_DA.files/image008.png">，

所以，

∴是［－1，1］上的增函數(shù)  6分

這與假設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，

∴ 函數(shù)f(x)的圖象上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直  8分

（2）要使得對所有，恒成立，

只須，  11分

由(1)得是［－1，1］上的增函數(shù) ∴

∴對任意的恒成立  3分

令，則只須，

解之得：或或   15分

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是或或．  16分

考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是利用單調(diào)性的定義證明，同事利用不等式恒成立來化簡為分離參數(shù)的思想來求解最值得到參數(shù)的范圍。