Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=

3

，點F是PD的中點，點E在CD上移動．
（1）求三棱錐E-PAB體積；
（2）求證：PE⊥AF
（3）當點E在CD的什么位置時，EF∥平面PAC，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥平面ABCD可得V_E-PAD=V_P-ABE=

1

3

S_△ABE•PA，運算求得結果．
（2）由條件證明CD⊥平面PAD，可得AF⊥DC．再由AF⊥PD，證得AF⊥平面PDC，從而PE⊥AF．
（3）當點E為CD的中點時，EF||平面PAC．根據EF是三角形PCD的中位線可得EF||PC，再根據直線和平面
平行的判定定理證得EF||平面PAC．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴VE-PAB=VP-ABE=

1

3

S△ABE•PA=

1

3

×

1

2

×1×

3

×1=

3

6

．…（5分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．
∵ABCD是矩矩形，∴CD⊥AD．∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF?平面PAD，∴AF⊥DC．…（7分）
∵PA=AD，點F是PD的中點，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．…（9分）
PE?平面PDC，∴PE⊥AF．…（10分）
（3）當點E為CD的中點時，EF||平面PAC．   …（11分）
理由如下：∵點E，F分別為CD、PD的中點，∴EF||PC．
∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF||平面PAC．…（15分）

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理、直線和平面垂直的性質定理的應用，用等體積法求棱錐的體積，
屬于中檔題．