Question

已知函數f（x）=a^x-1的圖象經過點（3，4），其中a＞0，a≠1．且函數f（x）=(logax)2-logax3+2，x∈[

1

4

，2]的值域為B． 
（1）求集合B；
（2）若方程a(

3	2

)x+b=0(a＞0)在B上有解，求

b

a

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數y=f（x）的圖象經過P（3，4），求出a的值，再換元，利用配方法，可求集合B；
（2）令g（x）=a(

3	2

)x+b，方程a(

3	2

)x+b=0(a＞0)在B上有解，等價于g（0）g（12）＜0，由此可求

b

a

的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數y=f（x）的圖象經過P（3，4），∴a^3-1=4，即a²=4，
又a＞0，∴a=2，
∴f(x)=(log2x)2-log2x3+2，x∈[

1

4

，2]
令t=log₂x，則t∈[-2，1]，y=t²-3t+2=（t-

3

2

）²-

1

4

∵t∈[-2，1]，∴y∈[0，12]，
∴B=[0，12]；
（2）令g（x）=a(

3	2

)x+b
∵方程a(

3	2

)x+b=0(a＞0)在B上有解，
∴g（0）g（12）＜0
∴（a+b）（16a+b）＜0
解得-16＜

b

a

＜-1．

點評：本題考查函數的值域，考查方程有解問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．