Question

如圖，三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，側面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁＝A₁C＝AC＝2，AB＝BC，且AB⊥BC，O為AC中點．

(Ⅰ)證明：A₁O⊥平面ABC；

(Ⅱ)求直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值；

(Ⅲ)在BC₁上是否存在一點E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，說明理由；若存在，確定點E的位置．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)證明：因為，且O為AC的中點， 　　所以　　1分 　　又由題意可知，平面平面，交線為，且平面， 　　所以平面　　4分 　　(Ⅱ)如圖，以O為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系． 　　由題意可知，又； 　　． 　　所以得： 　　則有： 　　設平面的一個法向量為，則有 　　，令，得 　　所以　　6分 　　． 　　因為直線與平面所成角和向量與所成銳角互余，所以　　8分 　　(Ⅲ)設 　　即，得 　　所以得　　10分 　　令平面，得， 　　即得 　　即存在這樣的點E，E為的中點　　12分