Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），F為拋物線的焦點，點M（

p

2

，p）；
（1）設過F且斜率為1的直線L交拋物線C于A、B兩點，且|AB|=8，求拋物線的方程；
（2）過點M作斜率互為相反數的兩條直線，分別交拋物線C于除M之外的D、E兩點．求證：直線DE的斜率為定值．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線方程求得拋物線的焦點坐標，進而根據點斜式求得直線的方程與拋物線方程聯立，消去y，根據韋達定理，結合拋物線的定義，即可求拋物線的方程；
（2）設出直線方程代入拋物線方程，求出D，E的坐標，即可證得結論．

解答：（1）解：拋物線焦點為（

p

2

，0），且斜率為1，則直線方程為y=x-

p

2

，
代入拋物線方程y²=2px得x²-3px+

p2

4

=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=3p
根據拋物線的定義可知|AB|=x₁+

p

2

+x₂+

p

2

=x₁+x₂+p=4p=8，∴p=2
∴拋物線的方程為y²=4x；
（2）證明：由（1）知M（1，2），設MD：x=my+1-2m，則ME：x=-my+1+2m
MD：x=my+1-2m，代入y²=4x，可得y²-4my-4+8m=0，∴y=2或y=4m-2，∴D（4m²-4m+1，4m-2）
同理E（4m²+4m+1，-4m-2）
∴直線DE的斜率為

4m-2+4m+2

4m2-4m+1-(4m2+4m+1)

=-1

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．