Question

已知函數f（x）=

x

x+1

，數列{a_n}滿足：a_n＞0，a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N⁺
（I ）求數列{a_n}的通項公式；
（II）若bn=

2

an

+1，對任意正整數n，不等式

kn+1

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )(1+ 1 b3 )…(1+ 1 bn )

-

kn

2+bn

≤0恒成立，求正數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據函數f（x）=

x

x+1

，a_n+1=f（a_n），可得

1

an+1

-

1

an

=1，從而數列{

1

an

}是以1為首項，1為公差的等差數列，由此可求數列{a_n}的通項公式；
（II）根據b_n=

2

an

+1，可得b_n=2n+1，分離參數可得k≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)，再構造函數g(n)=

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)，證明g（n）在n∈N^*上遞增，求出g（n）的最小值，即可求得正數k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意，∵函數f（x）=

x

x+1

，a_n+1=f（a_n）
∴a_n+1=

an

an+1

，
∴

1

an+1

-

1

an

=1
∵a₁=1，∴數列{

1

an

}是以1為首項，1為公差的等差數列．           
∴

1

an

=n，∴an=

1

n

（II）∵b_n=

2

an

+1，∴b_n=2n+1，
∴對任意正整數n，不等式

kn+1

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )(1+ 1 b3 )…(1+ 1 bn )

-

kn

2+bn

≤0恒成立等價于
k≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)
記g(n)=

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)
∴g(n+1)=

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn+1

)
∴

g(n+1)

g(n)

=

2n+4

2n+5 × 2n+3

=

42+16n+16

4n2+16n+15

＞1
∴g（n+1）＞g（n），即g（n）在n∈N^*上遞增，
∴g（n）_min=g（1）=

4 5

15

∴k∈（0，

4 5

15

]．

點評：本題主要考查了數列與不等式的綜合，以及等差數列的判定和數列的函數特性，同時考查了計算能力和轉化的數學思想，屬于中檔題．