Question

已知拋物線(xiàn)C：，的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，設(shè)兩切線(xiàn)的交點(diǎn)為M

(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡方程；

(Ⅱ)求證MF⊥AB；

(Ⅲ)設(shè)△MAB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線(xiàn)的方程

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)，，，顯然，

      由，得，所以

    于是，分別過(guò)A、B、兩點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：

     ，即  ①

，即 ②

     解①②得    ③

      設(shè)直線(xiàn)的方程為  

      由  得

      ∴   ④ 

    ④代入③得

      即

    故的軌跡方程是 

  (Ⅱ)∵，

      ∴

      ∴

  (Ⅲ)

       ∴當(dāng)時(shí)，的面積最小，最小值是4

此時(shí)，直線(xiàn)的方程為．