Question

已知等差數列{a_n}的通項公式為a_n=3n-2，等比數列{b_n}中，b₁=a₁，b₄=a₃+1．記集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N*}，U=A∪B，把集合U中的元素按從小到大依次排列，構成數列{c_n}．
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{c_n}的前50項和S₅₀；
（Ⅲ）把集合?_UA中的元素從小到大依次排列構成數列{d_n}，寫出數列{d_n}的通項公式，并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設等比數列{b_n}的公比為q，
∵b₁=a₁=1，b₄=a₃+1=8，則q³=8，∴q=2，
∴b_n=2^n-1；
（Ⅱ）根據數列{a_n}和數列{b_n}的增長速度，數列{c_n}的前50項至多在數列{a_n}中選50項，數列{a_n}的前50項所構成的集合為{1，4，7，10，…，148}，
由2^n-1＜148得，n≤8，數列{b_n}的前8項構成的集合為{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差數列{a_n}中的項，2，8，32，128不是等差數列中的項，a₄₆=136＞128，故數列{c_n}的前50項應包含數列{a_n}的前46項和數列{b_n}中的2，8，32，128這4項．
所以S₅₀==3321；
（Ⅲ）據集合B中元素2，8，32，128∉A，猜測數列{d_n}的通項公式為d_n=2^2n-1．
∵d_n=b_2n，∴只需證明數列{b_n}中，b_2n-1∈A，b_2n∉A（n∈N^*），
證明如下：∵b_2n+1-b_2n-1=2²ⁿ-2^2n-2=4ⁿ-4^n-1=3×4^n-1，即b_2n+1=b_2n-1+3×4^n-1，
若?m∈N^*，使b_2n-1=3m-2，那么b_2n+1=3m-2+3×4^n-1=3（m+4^n-1）-2，
所以，若b_2n-1∈A，則b_2n+1∈A．因為b₁∈A，重復使用上述結論，即得b_2n-1∈A（n∈N^*）．
同理，b_2n+2-b_2n=2²ⁿ⁺¹-2^2n-1=2×4ⁿ-2×4^n-1=3×2×4^n-1，即b_2n+2=b_2n+3×2×4^n-1，
因為“3×2×4^n-1”為數列{a_n}的公差3的整數倍，
所以說明b_2n 與b_2n+2（n∈N^*）同時屬于A或同時不屬于A，
當n=1時，顯然b₂=2∉A，即有b₄=2∉A，重復使用上述結論，即得b_2n∉A，
∴d_n=2^2n-1；
分析：（Ⅰ）設等比數列{b_n}的公比為q，利用等比數列的通項公式即可求得q，從而得到通項公式；
（Ⅱ）根據數列{a_n}和數列{b_n}的增長速度，判斷數列{c_n}的前50項中包含{a_n}、{b_n}的項的情況，再根據等差數列求和公式即可得到結果；
（Ⅲ）據集合B中元素2，8，32，128∉A，猜測數列{d_n}的通項公式為d_n=2^2n-1，由d_n=b_2n，∴只需證明數列{b_n}中，b_2n-1∈A，b_2n∉A（n∈N^*），通過作差b_2n+1-b_2n-1，可判斷若b_2n-1∈A，則b_2n+1∈A．根據為b₁∈A判斷b_2n-1∈A（n∈N^*）．同理可判斷b_2n∉A，從而得到d_n=2^2n-1．
點評：本題考查等差數列、等比數列的綜合及數列求和，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，本題中（Ⅲ）問先猜后證的思路值得借鑒學習，要細心領會．