Question

已知函數f（x）=x³+

48

x

，x∈[-3，-1]．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）設a≥1，函數g（x）=x³-3a²x+14a-1，若對于任意x₁∈[-3，-1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導數法分析函數f（x）的單調性，并求出區間兩個端點及函數極值點的函數值，比較后，可得函數的最小值和最大值，進而得到連續函數f（x）的值域A；
（Ⅱ）利用導數法分析函數g（x）在區間[0，1]上的單調性，進而得到函數g（x）在區間[0，1]上的值域B，結合對于任意x₁∈[-3，-1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，即B?A，并由集合包含關系的定義，構造關于a的不等式組，解不等式組，可得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+

48

x

，
∴f′（x）=3x²-

48

x2

=

3(x4-16)

x2

．
令f′（x）=0，結合x∈[-3，-1]．解得 x=-2．----------（2分）
當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如右表：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，-1）	-1
f′（x）		+	0	-
f（x）	-43	增	-32	減	-49

所以，當x∈（-3，-2）時，f（x）是增函數；
當x∈（-2，-1）時，f（x）是減函數；
當x∈[-3，-1]時，f（x）的值域為[-49，-32]．----------（4分）
（Ⅱ）∵g（x）=x³-3a²x+14a-1，
∴g′（x）=3x²-3a²，
∵a≥1，
∴當x∈（0，1）時，g′（x）≤0，g（x）為減函數，
故g（x）∈[g（1），g（0）]=[-3a²+14a，14a-1]．----------（7分）
若對于任意x₁∈[-3，-1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則
[-3a²+14a，14a-1]?[-49，-32]，
即

-3a2+14a≤-49，① 14a-1≥-32，②

解①式得 a≥7或a≤-

7

3

解②式得a≥-

31

14

，
故a的取值范圍為a≥7．----------（10分）

點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區間上的函數的最值，函數的值域，恒成立問題，是函數圖象和性質與導函數的綜合應用，難度較大．