Question

（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無效）

已知橢圓的左、右焦點分別為，若以為圓心，為半徑作圓，過橢圓上一點作此圓的切線，切點為，且的最小值不小于為．

（1）求橢圓的離心率的取值范圍；

（2）設橢圓的短半軸長為，圓與軸的右交點為，過點作斜率為的直線與橢圓相交于兩點，若，求直線被圓截得的弦長的最大值．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）．

【解析】(1)根據圓的切線長公式可得,顯然當取得最小值時取得最小值,而,再根據的最小值為,可建立關于a,c的不等式，從而求出e的取值范圍.

(2)設直線l的方程為,然后與橢圓方程聯立消y得關于x的一元二次方程，因為，所以再結合直線方程和韋達定理，建立關于k與a的等式關系.從而在直線方程中用a表示k,再把最終化成關于c的函數表達式，再利用率心率e的范圍，確定出c的范圍，求函數最值即可.

（1）依題意設切線長

∴當且僅當取得最小值時取得最小值，

而，．．．．．．2分

，，

從而解得，故離心率的取值范圍是；．．．．．．6分

（2）依題意點的坐標為，則直線的方程為， 聯立方程組  

得，設，則有，，代入直線方程得，

，又，，

．．．．．． 10分

，直線的方程為，圓心到直線的距離，由圖象可知，

，，，所以．14分