Question

【題目】已知數列{an}的首項a1=2，且an=2an﹣1﹣1（n∈N* ， N≥2）
（1）求證：數列{an﹣1}為等比數列；并求數列{an}的通項公式；
（2）求數列{nan﹣n}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由an=2an﹣1﹣1，得an﹣1=2（an﹣1﹣1），

∴數列{an﹣1}構成首項為a1﹣1=1，公比q=2的等比數列，

∴an﹣1=2n﹣1，即an=2n﹣1+1

（2）解：∵nan﹣n=n2n﹣1+n﹣n=n2n﹣1，

∴Sn=120+221+322+…+n2n﹣1，①，

2Sn=121+222+323+…+n2n，②，

②﹣①，得：Sn=﹣20﹣21﹣22﹣…﹣2n﹣1+n2n=﹣ +n2n=n2n+1﹣2n=（n﹣1）2n+1．

【解析】（1）已知通項公式變形，利用等比數列的性質判斷得證，求出數列{an}的通項公式即可；（2）根據題意表示出數列{nan﹣n}的前n項和Sn ， 利用數列的遞推式確定出Sn通項公式即可．
【考點精析】本題主要考查了等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．