Question

【題目】已知橢圓的左右頂點為A，B，點P，Q為橢圓上異于A，B的兩點，直線AP、BP、BQ的斜率分別記為.

（1）求的值；

（2）若，求證：，并判斷直線PQ是否過定點，若是，求出該定點；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；直線PQ是過定點，該定點為

【解析】

（1）設，根據，然后由點在橢圓上，由求解.

（2）設直線的方程為：，與橢圓方程聯立，根據，結合（1），得到，將韋達定理代入得到k，b的關系，再代入直線方程求解即可.

（1）設，

∵，

則，

又，

則，

代入上式，得.

（2），

又由（1）知，，

，

，

即...

設直線的方程為：，

設，

聯立，

得：，

由>0得： ，

由韋達定理：，，..

，

，

則，

即：，

所以：，

解得：或，..

當時，直線，則直線過B（2，0），不合題意，

當時，直線，則直線過定點，

∴直線PQ是過定點，該定點為