Question

設點F（，0）（p為正常數），點M在x軸的負半軸上，點P在y軸上，且，．
（Ⅰ）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；
（Ⅱ）直線l過點F且與曲線C相交于不同兩點A，B，分別過點A，B作直線l₁：x=-的垂線，對應的垂足分別為A₁，B₁，求的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記，，，λ=，求λ的值．

Answer 1

解：（1）設N（x，y），M（a，0），（a＞0），P（0，b）
由可得，x=-a，y=2b①
由可得②
①②聯立可得y²=2px（p＞0）
（2）由拋物線的定義可得AF=AA₁，BF=BB₁，AA₁∥MF∥BB₁
∴∠AFA₁=∠AA₁F=∠MFA₁，∠BFB₁=∠BB₁F=∠MFB₁
∴∠A₁FB₁=∠B₁FM+∠MFA₁=
即FA₁⊥FB₁∴=0
（3）設直線AB的方程為：x=ky+ A（x₁，y₁） B（x₂，y₂）
聯立方程整理可得y²-2pky-p²=0
則y₁+y₂=2pk，y₁y₂=-p² x₁+x₂=k（y₁+y₂）+p=2pk²+p
λ====
=


分析：（1）設N（x，y），M（a，0），（a＞0），P（0，b），由可得，x=-a，y=2b，由可得，從而可求x，y滿足的方程
（2）由拋物線的定義可得AF=AA₁，BF=BB₁，AA₁∥MF∥BB₁
從而有∠AFA₁=∠AA₁F=∠MFA₁，∠BFB₁=∠BB₁F=∠MFB₁
則有∠AFA₁=∠AA₁F=∠MFA₁，∠BFB₁=∠BB₁F=∠MFB₁
∠A₁FB₁=∠B₁FM+∠MFA₁=
（3）設直線AB的方程為：x=ky+ A（x₁，y₁） B（x₂，y₂）
聯立方程整理可得y²-2pky-p²=0
則y₁+y₂=2pk，y₁y₂=-p² x₁+x₂=k（y₁+y₂）+p=2pk²+p
λ==代入整理可求
點評：本題以平面向量向量的基本運算為載體，重點考查了拋物線的性質的應用，直線與拋物線的位置關系等知識的綜合運用，解決本題（2）的關鍵是要熟練掌握拋物線的定義發現AF=AA₁，BF=BB₁，解決（3）時要注意設直線方程時為了避免討論斜率k的值是否存在，故可設直線AB的方程為：x=ky+