Question

選做題：考生在下面兩小題中，任選一道作答，如果全做則按第1小題評分．
（1）《幾何證明選講》選做題
如圖，半徑分別為a和3a的圓O₁與圓O₂外切于T，自圓O₂上一點P引圓O₁的切線，切點為Q，若PQ=2a，則PT=

2 6

3

a

．
（2）《坐標系與參數方程》選做題
從極點O作射線交直線ρcosθ=3于點M，P為線段OM上的點，且|OM|•|OP|=12，則P點軌跡的極坐標方程為

p=4cosθ

．

Answer 1

分析：（1）如圖根據自圓O₂上一點P引圓O₁的切線，切點為Q，得到PQ⊥QO₁，利用勾股定理得PO₁的長，再在三角形PO₁O₂中，由余弦定理得cos∠PO₁O₂，最后在三角形PO₁T中，再次利用余弦定理即可求出PT．
（2）設動點P的坐標為（ρ，θ），M的坐標為（ρ₀，θ），則ρρ₀=12，由ρ₀cosθ=3，得到ρ=4cosθ即為所求；

解答：解：（1）如圖，∵自圓O₂上一點P引圓O₁的切線，切點為Q，
∴PQ⊥QO₁，
∴PO₁=

PQ2+Q O  2 1

=

4a2+a2

=

5

a，
在三角形PO₁O₂中，由余弦定理得：
cos∠PO₁O₂=

( 5 a)2+(3a)2-(4a)2

2× 5 a×3a

=

5

3

，
所以在三角形PO₁T中，
PT=

( 5 a)2+a2-2× 5 a×a× 5 3

=

2 6

3

a，
故答案為：

2 6

3

a．
（2）設動點P的坐標為（ρ，θ），M的坐標為（ρ₀，θ），
則ρρ₀=12．
∵ρ₀cosθ=3，
∴ρ=4cosθ，即為所求的軌跡方程．
故答案為：ρ=4cosθ．

點評：（1）本題主要考查了圓的切線的性質、與圓有關的線段及解三角形的有關知識，屬于基礎題．
（2）考查簡單曲線的極坐標方程和解決數學問題的能力，以及會求簡單軌跡的極坐標方程．