Question

（江蘇卷18）設平面直角坐標系中，設二次函數的圖象與坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C。

求實數的取值范圍；

求圓的方程；問圓是否經過某定點（其坐標與無關）？請證明你的結論

Answer 1

解：本小題主要考查二次函數圖象與性質、圓的方程的求法．

（Ⅰ）令＝0，得拋物線與軸交點是（0，b）；

令，由題意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）設所求圓的一般方程為

令＝0 得這與＝0 是同一個方程，故D＝2，F＝．

令＝0 得＝0，此方程有一個根為b，代入得出E＝―b―1．

所以圓C 的方程為.

（Ⅲ）圓C 必過定點，證明如下：

假設圓C過定點 ，將該點的坐標代入圓C的方程，

并變形為         （*）

為使（*）式對所有滿足的都成立，必須有，

結合（*）式得

，解得

經檢驗知，點均在圓C上，因此圓C 過定點。