Question

已知數列{a_n}滿足遞推關系式a_n=2a_n-1+1，（n≥2）其中a₁=1．
（1）求數列{a_n}的通項公式
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n=2a_n-1+1可得a_n+1=2（a_n-1+1），從而可證數列{a_n+1}是以2為首項以2為公比的等比數列可求
（2）由（1）可得Sn=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1)，利用分組，結合等比數列的求和公式可求

解答：解：（1）由a_n=2a_n-1+1可得a_n+1=2（a_n-1+1），a₁+1=2
∴數列{a_n+1}是以2為首項以2為公比的等比數列
∴an+1=2n
∴an=2n-1
（2）由an=2n-1
∴Sn=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1)
=（2+2²+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-2-n

點評：本題主要考查了構造等比數列求解通項，數列求和的分組求和及等比數列的求和公式的應用，屬于數列知識的綜合應用