Question

如圖，設橢圓的右頂點與上頂點分別為A、B，以A為圓心，OA為半徑的圓與以B為圓心，OB為半徑的圓相交于點O、P．
（1）若點P在直線上，求橢圓的離心率；
（2）在（1）的條件下，設M是橢圓上的一動點，且點N（0，1）到橢圓上點的最近距離為3，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據OP是圓A、圓B的公共弦，可推斷出OP⊥AB，進而可知k_AB•k_OP=-1，進而求得b和a的關系，進而根據求得a和c關系，求得離心率．
（2）把點M代入橢圓方程，進而根據（1）中a和b的關系，表示出|MN|，進而看當a≥4和0＜a＜4，分別求得函數取最小值時，求得a，則b可求，橢圓的方程可得．
解答：解：（1）因OP是圓A、圓B的公共弦，
所以OP⊥AB，即k_AB•k_OP=-1，
所以，又，
所以，
所以；
（2）由（1）有，
所以此時所求橢圓方程為，
設M（x，y）是橢圓上一點，
則|MN|²=x²+（y-1）²
=，
其中-a≤y≤a，
1°若0＜a＜4時，則當y=a時，|MN|²有最小值a²-2a+1，
由a²-2a+1=9得a=-2或a=4（都舍去）；
2°若a≥4時，則當y=4時，|MN|²有最小值，
由得a=±4（舍去負值）即a=4；
綜上所述，所求橢圓的方程為．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質．應熟練掌握橢圓方程中，a，b和c關系，做題時才能游刃有余．