Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線OC與MD所成角的大小；
（Ⅱ）求點(diǎn)M到平面OCD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求異面直線所成的角，可以做適當(dāng)?shù)钠揭疲�把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在相關(guān)的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移時(shí)主要是根據(jù)中位線和中點(diǎn)條件，做出角，再求出角．
（Ⅱ）可以先轉(zhuǎn)化，當(dāng)由點(diǎn)向平面引垂線發(fā)生困難時(shí)，可利用線面平行或面面平行轉(zhuǎn)化為直線上（平面上）其他點(diǎn)到平面的距離．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)線段AC的中點(diǎn)為E，連接ME，
則∠EMD為異面直線OC與MD所成的角（或其補(bǔ)角）
由已知，可得DE=，EM=，MD=，
∵
∴△DEM為直角三角形
∴tan∠EMD==，
∴∠EMD=arctan
所以異面直線OC與MD所成角的大小arctan
（Ⅱ）作MF⊥OD于F，
∵OA⊥CD且AD⊥CD，
∴CD⊥平面ADO
∴CD⊥MF
∴MF⊥平面OCD
所以點(diǎn)M到平面OCD的距離ME=
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與直線的位置關(guān)系、異面直線所成角及點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，利用綜合法解決立體幾何問題的能力．