Question

（本題滿分12分）

　已知數列的前和為，其中且

(1)求

(2)猜想數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）

     又，則，類似地求得

（2）由，，…

 猜得：；證明見解析.

【解析】本試題主要是考查了數列的歸納猜想的思想的運用，以及運用數學歸納法證明猜想的結論的綜合運用。

（1）利用通項公式和前n項和的關系式，對n令值，分別得到前幾項。

（2）根據前幾項，歸納猜想其通項公式，并運用數學歸納法，分為兩步來證明。

解：（1）

     又，則，類似地求得

（2）由，，…

 猜得：

 以數學歸納法證明如下：

①       當時，由（1）可知等式成立；

②假設當時猜想成立，即

     那么，當時，由題設得

，

     所以＝＝

      －

       因此，

       所以

       這就證明了當時命題成立.

       由①、②可知命題對任何都成立.